正則行列 $P$ を用いて、行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとする。 (1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ であることを示す。 (2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$ であることを示す。 (3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値であることを示す。

1. 問題の内容

正則行列 $P$ を用いて、行列 $A$ が $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとする。

(1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ であることを示す。

(2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$ であることを示す。

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $P$ とその逆行列 $P^{-1}$ に対して、$PP^{-1} = I$ (単位行列) が成り立つ。

両辺の行列式を取ると、$\det(PP^{-1}) = \det(I)$ となる。

行列式の性質より、$\det(PP^{-1}) = \det(P)\det(P^{-1})$ であり、$\det(I) = 1$ である。

したがって、$\det(P)\det(P^{-1}) = 1$ となる。

$\det(P) \neq 0$ であるから、両辺を $\det(P)$ で割ると、$\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)} = (\det P)^{-1}$ が得られる。

(2)

行列式の性質より、$\det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P)$ となる。

(1) の結果より、$\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$ であるから、

$\det(P^{-1}AP) = (\det P)^{-1} \det(A) \det(P) = \det(A) (\det P)^{-1} \det(P) = \det(A) \cdot 1 = \det(A)$

したがって、$\det(P^{-1}AP) = \det A$ が示された。

(3)

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ である。

(2) より、$\det(P^{-1}AP) = \det A$ であるから、$\det \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \det A$ となる。

$\det \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \alpha\beta$ であるから、$\det A = \alpha\beta$ が成り立つ。

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ より、$P^{-1}AP - \lambda I = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} - \lambda I = \begin{bmatrix} \alpha-\lambda & 0 \\ 0 & \beta-\lambda \end{bmatrix}$ となる。

$\det (P^{-1}AP - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} \alpha-\lambda & 0 \\ 0 & \beta-\lambda \end{bmatrix} = (\alpha-\lambda)(\beta-\lambda)$

一方、$\det(A - \lambda I)$ は $A$ の固有多項式であり、その根が固有値である。

$\det(P^{-1}AP - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - P^{-1}\lambda IP) = \det(P^{-1}(A - \lambda I)P) = \det(P^{-1})\det(A - \lambda I)\det(P) = \det(A - \lambda I)$

したがって、$\det(A - \lambda I) = (\alpha - \lambda)(\beta - \lambda) = 0$ を満たす $\lambda$ が $A$ の固有値である。

よって、$\lambda = \alpha, \beta$ が $A$ の固有値である。

3. 最終的な答え

(1) $\det(P^{-1}) = (\det P)^{-1}$

(2) $\det(P^{-1}AP) = \det A$

(3) $\alpha$ と $\beta$ は $A$ の固有値である。