(1) 放物線 $y=x^2-3x+2$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$, $(2, 3)$ を通る2次関数を求めよ。 (2) 放物線 $y=2x^2$ を平行移動した曲線で、点 $(2, -7)$ を通り、頂点が放物線 $y=-x^2$ 上にある2次関数を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y=x^2-3x+2$ を平行移動した曲線で、2点 $(1, 1)$, $(2, 3)$ を通る2次関数を求めよ。

(2) 放物線 $y=2x^2$ を平行移動した曲線で、点 $(2, -7)$ を通り、頂点が放物線 $y=-x^2$ 上にある2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

平行移動した曲線の方程式を $y = x^2 - 3x + 2 + ax + b$ とおく。(平行移動により $x$ の係数と定数項が変化する。)

2点 $(1, 1)$, $(2, 3)$ を通るので、以下の連立方程式が成り立つ。

$1 = 1 - 3 + 2 + a + b$

$3 = 4 - 6 + 2 + 2a + b$

整理すると

$a + b = 1$

$2a + b = 3$

この連立方程式を解く。

2式目から1式目を引くと $a = 2$。

$a = 2$ を1式目に代入すると $2 + b = 1$ より $b = -1$。

よって、求める2次関数は $y = x^2 - 3x + 2 + 2x - 1 = x^2 - x + 1$

(2)

平行移動した曲線の頂点の座標を $(-p, -p^2)$ とする。

このとき、平行移動した曲線の方程式は $y = 2(x + p)^2 - p^2$ と表せる。

この曲線が点 $(2, -7)$ を通るので、 $-7 = 2(2 + p)^2 - p^2$ が成り立つ。

$-7 = 2(4 + 4p + p^2) - p^2 = 8 + 8p + 2p^2 - p^2 = p^2 + 8p + 8$

$p^2 + 8p + 15 = 0$

$(p + 3)(p + 5) = 0$

$p = -3, -5$

$p = -3$ のとき、 $y = 2(x - 3)^2 - 9 = 2(x^2 - 6x + 9) - 9 = 2x^2 - 12x + 18 - 9 = 2x^2 - 12x + 9$

$p = -5$ のとき、 $y = 2(x - 5)^2 - 25 = 2(x^2 - 10x + 25) - 25 = 2x^2 - 20x + 50 - 25 = 2x^2 - 20x + 25$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 9$, $y = 2x^2 - 20x + 25$