以下の連立不等式について、 $5x - 8 > 2x + 1$ ...(1) $x + 3 \geq 3x - a$ ...(2) (1) 不等式(1)を解く。 (2) 不等式(2)を解く。 (3) (1)と(2)を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

以下の連立不等式について、

$5x - 8 > 2x + 1$ ...(1)

$x + 3 \geq 3x - a$ ...(2)

(1) 不等式(1)を解く。

(2) 不等式(2)を解く。

(3) (1)と(2)を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解く。

$5x - 8 > 2x + 1$

$3x > 9$

$x > 3$

(2) 不等式(2)を解く。

$x + 3 \geq 3x - a$

$-2x \geq -a - 3$

$2x \leq a + 3$

$x \leq \frac{a+3}{2}$

(3) (1)と(2)を満たす整数 $x$ は、$3 < x \leq \frac{a+3}{2}$を満たす。

この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在するには、整数 $x$ が4, 5, 6, 7, 8であればよい。

したがって、$8 \leq \frac{a+3}{2} < 9$でなければならない。

$16 \leq a+3 < 18$

$13 \leq a < 15$

3. 最終的な答え

$13 \leq a < 15$