二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ の $-1 < x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ の $-1 < x \leq 4$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、二次関数の頂点の $x$ 座標を求めます。頂点の $x$ 座標は、$x = -\frac{b}{2a}$ で求めることができます。この問題では、$a = -\frac{1}{2}$、$b = 3$ なので、

$x = -\frac{3}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{-1} = 3$

頂点の $x$ 座標は $3$ です。これは定義域 $-1 < x \leq 4$ に含まれています。

次に、頂点の $y$ 座標を求めます。$x = 3$ を $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ に代入すると、

$y = -\frac{1}{2}(3)^2 + 3(3) = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{-9 + 18}{2} = \frac{9}{2}$

したがって、頂点の座標は $(3, \frac{9}{2})$ です。上に凸のグラフなので、頂点で最大値をとります。最大値は $\frac{9}{2}$ です。

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = 4$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(4)^2 + 3(4) = -\frac{1}{2}(16) + 12 = -8 + 12 = 4$

$x = -1$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 3(-1) = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{7}{2}$

$x = -1$ は定義域に含まれていませんが、限りなく $-1$ に近い値を考える必要があります。

$x=4$のとき、$y=4$

$x=-1$に近いとき、$y=-\frac{7}{2} = -3.5$

最小値は$x$が$-1$に限りなく近づくときにとる$-\frac{7}{2}$です。ただし$-1 < x \le 4$なので、$x=-1$は定義域に含まれません。したがって、最小値は存在しませんが、下限は$-\frac{7}{2}$です。しかし、この問題では最小値を求められていると解釈できるので、定義域内の最小値は存在しない、と回答します。

最大値は$x=3$のとき$\frac{9}{2}=4.5$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{2}$

最小値: なし