与えられた不等式 $\sqrt{3x - 1} > 2(x - 1)$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{3x - 1} > 2(x - 1)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である必要があるため、 $3x - 1 \geq 0$、つまり $x \geq \frac{1}{3}$ が必要です。

次に、両辺を2乗します。

$(\sqrt{3x - 1})^2 > (2(x - 1))^2$

$3x - 1 > 4(x^2 - 2x + 1)$

$3x - 1 > 4x^2 - 8x + 4$

これを整理すると、

$0 > 4x^2 - 11x + 5$

$4x^2 - 11x + 5 < 0$

二次方程式 $4x^2 - 11x + 5 = 0$ の解を求めます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(4)(5)}}{2(4)}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 80}}{8}$

$x = \frac{11 \pm \sqrt{41}}{8}$

したがって、$x_1 = \frac{11 - \sqrt{41}}{8}$ と $x_2 = \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ です。

$4x^2 - 11x + 5 < 0$ となるのは、 $x_1 < x < x_2$ の範囲です。

つまり、 $\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ です。

ここで、$x \geq \frac{1}{3}$ という条件を考慮する必要があります。

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} \approx \frac{11 - 6.4}{8} \approx \frac{4.6}{8} \approx 0.575$

$\frac{1}{3} \approx 0.333$ なので、 $x \geq \frac{1}{3}$ の条件は、 $\frac{11 - \sqrt{41}}{8}$ の値より弱い制約です。

$\frac{11 + \sqrt{41}}{8} \approx \frac{11 + 6.4}{8} \approx \frac{17.4}{8} \approx 2.175$

したがって、不等式の解は $\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{11 - \sqrt{41}}{8} < x < \frac{11 + \sqrt{41}}{8}$