与えられた不等式 $\sqrt{2}(x-1) \le x+1$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\sqrt{2}(x-1) \le x+1$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を展開します。

$\sqrt{2}x - \sqrt{2} \le x + 1$

次に、$x$を含む項を左辺に、定数項を右辺に移動します。

$\sqrt{2}x - x \le 1 + \sqrt{2}$

$x$ でくくります。

$(\sqrt{2} - 1)x \le 1 + \sqrt{2}$

両辺を $(\sqrt{2} - 1)$ で割ります。 $(\sqrt{2} - 1)$ は正の数なので、不等号の向きは変わりません。

$x \le \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$

ここで、右辺の分母を有利化します。分母と分子に$(\sqrt{2} + 1)$ をかけます。

$x \le \frac{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$

$x \le \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2}{2 - 1}$

$x \le \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1}$

$x \le 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x \le 3 + 2\sqrt{2}$