4次式 $4x^4 - 11x^2 - 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

1. 問題の内容

4次式 $4x^4 - 11x^2 - 3$ を複素数の範囲で因数分解する。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = y$ とおくと、与式は $4y^2 - 11y - 3$ となる。

(2) この2次式を因数分解する。

$4y^2 - 11y - 3 = (4y + 1)(y - 3)$

(3) $y$ を $x^2$ に戻す。

$(4x^2 + 1)(x^2 - 3)$

(4) $4x^2 + 1 = 0$ を解く。

$4x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{4}$

$x = \pm \frac{i}{2}$

したがって、$4x^2 + 1 = 4(x - \frac{i}{2})(x + \frac{i}{2}) = (2x - i)(2x + i)$

(5) $x^2 - 3 = 0$ を解く。

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

(6) よって、$4x^4 - 11x^2 - 3 = (2x - i)(2x + i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

$(2x - i)(2x + i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$