与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3} + \sqrt{k+1}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3} + \sqrt{k+1}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+3} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k+3} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1}}{(k+3) - (k+1)} = \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1}}{2}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+3} + \sqrt{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+1})$

この和は、隣り合う項が打ち消しあう望遠鏡和の形になっています。具体的に書き出すと、

$\frac{1}{2} [(\sqrt{4} - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} - \sqrt{4}) + \cdots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})]$

この和を整理すると、ほとんどの項が打ち消しあい、残るのは

$\frac{1}{2} (-\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{n+2} + \sqrt{n+3})$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\sqrt{n+2} + \sqrt{n+3} - \sqrt{2} - \sqrt{3})$