与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k^2+4k+3}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k^2+4k+3}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$k^2 + 4k + 3 = (k+1)(k+3)$

次に、与えられた分数を部分分数分解します。

$\frac{2}{(k+1)(k+3)} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+3}$

両辺に $(k+1)(k+3)$ を掛けると

$2 = A(k+3) + B(k+1)$

$k = -1$ のとき $2 = 2A$ より $A = 1$

$k = -3$ のとき $2 = -2B$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{2}{(k+1)(k+3)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}$

与えられた和は、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k^2+4k+3} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right)$

この和は、望遠鏡和（telescoping sum）なので、

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) + \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} \right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}$

$= \frac{5}{6} - \frac{(n+3) + (n+2)}{(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5}{6} - \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5(n+2)(n+3) - 6(2n+5)}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5(n^2+5n+6) - 12n - 30}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5n^2 + 25n + 30 - 12n - 30}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{5n^2 + 13n}{6(n+2)(n+3)}$

$= \frac{n(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(5n+13)}{6(n+2)(n+3)}$