点 $(1, -1)$ から曲線 $y = x^2 - x + 3$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(1, -1)$ から曲線 $y = x^2 - x + 3$ に引いた接線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^2 - t + 3)$ とおきます。

次に、曲線 $y = x^2 - x + 3$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = 2x - 1$

よって、接点 $(t, t^2 - t + 3)$ における接線の傾きは $2t - 1$ となります。

次に、接線の方程式を求めます。接線は点 $(t, t^2 - t + 3)$ を通り、傾きが $2t - 1$ なので、

$y - (t^2 - t + 3) = (2t - 1)(x - t)$

$y = (2t - 1)x - t(2t - 1) + t^2 - t + 3$

$y = (2t - 1)x - 2t^2 + t + t^2 - t + 3$

$y = (2t - 1)x - t^2 + 3$

この接線が点 $(1, -1)$ を通るので、これを代入します。

$-1 = (2t - 1)(1) - t^2 + 3$

$-1 = 2t - 1 - t^2 + 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

$t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 - 3 + 3) = (3, 9)$ であり、接線の傾きは $2(3) - 1 = 5$ なので、接線の方程式は $y = 5x - 3^2 + 3 = 5x - 6$ となります。

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 - (-1) + 3) = (-1, 5)$ であり、接線の傾きは $2(-1) - 1 = -3$ なので、接線の方程式は $y = -3x - (-1)^2 + 3 = -3x + 2$ となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 5x - 6$ (接点 $(3, 9)$) と $y = -3x + 2$ (接点 $(-1, 5)$) です。