与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数について、それぞれ微分を求めます。 (1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$ (2) $y = 2(x+5)(x-1)$ (3) $y = (x+2)^3$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の3つの関数について、それぞれ微分を求めます。

(1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$

(2) $y = 2(x+5)(x-1)$

(3) $y = (x+2)^3$

2. 解き方の手順

各関数ごとに、微分を求める手順を説明します。

(1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$

各項をそれぞれ微分します。

* $\frac{d}{dx} (\frac{x^3}{3}) = \frac{3x^2}{3} = x^2$

* $\frac{d}{dx} (\frac{x^2}{2}) = \frac{2x}{2} = x$

* $\frac{d}{dx} (\frac{1}{5}) = 0$

したがって、$y' = x^2 - x$となります。さらに、$x$で括ると、$y' = x(x-1)$となります。

(2) $y = 2(x+5)(x-1)$

まず、$y = 2(x+5)(x-1)$を展開します。

$y = 2(x^2 + 5x - x - 5) = 2(x^2 + 4x - 5) = 2x^2 + 8x - 10$

次に、$y$を微分します。

$y' = 4x + 8$

さらに、$4$で括ると、$y' = 4(x+2)$となります。

(3) $y = (x+2)^3$

$y=(x+2)^3$を展開します。

$y = (x+2)(x+2)^2 = (x+2)(x^2+4x+4) = x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8 = x^3+6x^2+12x+8$

次に、$y$を微分します。

$y' = 3x^2 + 12x + 12$

$3$で括ると、$y' = 3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^2 - x = x(x-1)$

(2) $y' = 4x + 8 = 4(x+2)$

(3) $y' = 3x^2 + 12x + 12 = 3(x+2)^2$