次の関数を微分せよ。 (1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$ (2) $y = 2(x+5)(x-1)$

はい、承知いたしました。画像にある問題 (1) と (2) を解いて説明します。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$

(2) $y = 2(x+5)(x-1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{5}$ を微分します。

各項を個別に微分します。

$\frac{d}{dx} (\frac{x^3}{3}) = x^2$

$\frac{d}{dx} (-\frac{x^2}{2}) = -x$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{5}) = 0$

よって、微分は次のようになります。

$y' = x^2 - x$

さらに、$x$ でくくって $x(x-1)$ とすることもできます。

(2) $y = 2(x+5)(x-1)$ を微分します。

まず、式を展開します。

$y = 2(x^2 -x + 5x - 5)$

$y = 2(x^2 + 4x - 5)$

$y = 2x^2 + 8x - 10$

次に、各項を個別に微分します。

$\frac{d}{dx} (2x^2) = 4x$

$\frac{d}{dx} (8x) = 8$

$\frac{d}{dx} (-10) = 0$

よって、微分は次のようになります。

$y' = 4x + 8$

さらに、$4$ でくくって $4(x+2)$ とすることもできます。

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^2 - x = x(x-1)$

(2) $y' = 4x + 8 = 4(x+2)$