関数 $y = ax^2$ ($a \neq 0$) について、以下の条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。 (2) 定義域が $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$、値域が $-6 \leq y \leq 0$

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ ($a \neq 0$) について、以下の条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。

(2) 定義域が $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$、値域が $-6 \leq y \leq 0$

2. 解き方の手順

$a$ の符号によって関数のグラフの形状が異なるため、場合分けして考えます。

(i) $a > 0$ のとき:

この場合、関数 $y = ax^2$ は下に凸な放物線になるため、定義域内での最小値は $x = 0$ のときに $y = 0$ となります。一方、最大値は定義域の端点のどちらかでとります。定義域は $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$ であるため、$x = \sqrt{3}$のとき、$y = 3a$、$x = -\sqrt{2}$のとき、$y = 2a$となります。

どちらにしても $y \geq 0$ となり、値域 $-6 \leq y \leq 0$ を満たせません。したがって、$a > 0$ は不適です。

(ii) $a < 0$ のとき:

この場合、関数 $y = ax^2$ は上に凸な放物線になるため、定義域内での最大値は $x = 0$ のときに $y = 0$ となります。一方、最小値は定義域の端点のどちらかでとります。定義域は $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$ であるため、$x = \sqrt{3}$のとき、$y = 3a$、$x = -\sqrt{2}$のとき、$y = 2a$となります。

$a < 0$ なので、$3a < 2a < 0$ です。したがって、最小値は $3a$ となり、$3a = -6$ であれば、与えられた条件を満たします。

$3a = -6$ を解くと、$a = -2$ となります。

$a = -2$ のとき、$2a = -4$ なので、 $-6 \le y \le 0$を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -2$