与えられた2次関数の定義域における値域を求める問題です。 (1) $y = 3x^2 - 18x + 16$ ($0 \le x \le 2$) (2) $y = -3x^2 - 4x + 2$ ($-1 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数の定義域における値域を求める問題です。

(1) $y = 3x^2 - 18x + 16$ ($0 \le x \le 2$)

(2) $y = -3x^2 - 4x + 2$ ($-1 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 18x + 16$ の値域を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3(x^2 - 6x) + 16$

$y = 3(x^2 - 6x + 9 - 9) + 16$

$y = 3((x - 3)^2 - 9) + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 27 + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 11$

頂点は $(3, -11)$ であり、下に凸のグラフです。

定義域は $0 \le x \le 2$ なので、$x=0$と$x=2$での$y$の値を求めます。

$x = 0$ のとき $y = 3(0 - 3)^2 - 11 = 3(9) - 11 = 27 - 11 = 16$

$x = 2$ のとき $y = 3(2 - 3)^2 - 11 = 3(1) - 11 = 3 - 11 = -8$

定義域内で頂点を含まないので、最小値は$x=2$のときの$-8$で、最大値は$x=0$のときの$16$です。

したがって、値域は$-8 \le y \le 16$となります。

(2) $y = -3x^2 - 4x + 2$ の値域を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

頂点は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ であり、上に凸のグラフです。

定義域は $-1 \le x \le 0$ なので、$x=-1$と$x=0$での$y$の値を求めます。

$x = -1$ のとき $y = -3(-1 + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3} = -3(-\frac{1}{3})^2 + \frac{10}{3} = -3(\frac{1}{9}) + \frac{10}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{10}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$x = 0$ のとき $y = -3(0 + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3} = -3(\frac{4}{9}) + \frac{10}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{10}{3} = \frac{6}{3} = 2$

頂点の$x$座標である$-\frac{2}{3}$は$-1 \le x \le 0$の範囲に含まれます。

したがって、最大値は$y = \frac{10}{3}$となります。

最小値は、$x=-1$のとき$y=3$、$x=0$のとき$y=2$なので、$y=2$となります。

したがって、値域は$2 \le y \le \frac{10}{3}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $-8 \le y \le 16$

(2) $2 \le y \le \frac{10}{3}$