与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \sin^2 x dx$ (2) $\int \cos x \cos 2x dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \sin^2 x dx$

(2) $\int \cos x \cos 2x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^2 x dx$ を計算します。

$\sin^2 x$ を半角の公式を用いて変形します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$

したがって、

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

(2) $\int \cos x \cos 2x dx$ を計算します。

積和の公式を利用します。

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

したがって、

$\cos x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos(x+2x) + \cos(x-2x)) = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos (-x)) = \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x)$

$\int \cos x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} (\cos 3x + \cos x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x + \cos x) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x + \sin x) + C = \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\sin x}{2} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(2) $\int \cos x \cos 2x dx = \frac{\sin 3x}{6} + \frac{\sin x}{2} + C$