数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列の初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n - 6n^2$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列の初項は $a_1 = 1$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n - 6n^2$ です。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形になっています。つまり、$a_{n+1} - a_n = -6n^2$ が成り立ちます。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

となります。与えられた漸化式より、$a_{k+1} - a_k = -6k^2$ であるので、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-6k^2)$

$a_n = 1 - 6 \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ であることを利用します。

したがって、

$a_n = 1 - 6 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 1 - (n-1)n(2n-1)$

$a_n = 1 - (n-1)(2n^2-n)$

$a_n = 1 - (2n^3 - n^2 - 2n^2 + n)$

$a_n = 1 - (2n^3 - 3n^2 + n)$

$a_n = -2n^3 + 3n^2 - n + 1$

この式が $n=1$ のときも成り立つか確認します。

$n=1$ のとき、 $a_1 = -2(1)^3 + 3(1)^2 - 1 + 1 = -2 + 3 - 1 + 1 = 1$ となり、与えられた条件 $a_1 = 1$ と一致します。したがって、一般項は

$a_n = -2n^3 + 3n^2 - n + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = -2n^3 + 3n^2 - n + 1$