問題は、与えられた分数の有理化を行うことです。与えられた分数は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた分数の有理化を行うことです。与えられた分数は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数（ここでは共役無理数）を分母と分子に掛けます。分母 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ の共役無理数は $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ です。したがって、分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

分母を展開します。（和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使用します。）

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$