与えられた分数の分母を有理化し、簡略化された形を求める問題です。 分数は $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡略化された形を求める問題です。

分数は $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数（この場合は $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ ）を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

分子を展開します:

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

分母を展開します：

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7-2\sqrt{10}}{3}$