与えられた分数関数 $\frac{1}{x^4+1}$ を部分分数分解し、その係数 A, B, C, D を求める問題です。 与えられた分解の形は $$ \frac{1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1} $$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数関数 $\frac{1}{x^4+1}$ を部分分数分解し、その係数 A, B, C, D を求める問題です。

与えられた分解の形は

$$\frac{1}{x^4+1} = \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$$

です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の両辺に $x^4+1$ を掛けます。$x^4+1$ は $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$ と因数分解できるので、

$$1 = (Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1) + (Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1)$$

となります。

右辺を展開すると

\begin{align*}

(Ax+B)(x^2-\sqrt{2}x+1) + (Cx+D)(x^2+\sqrt{2}x+1) &= Ax^3-\sqrt{2}Ax^2+Ax+Bx^2-\sqrt{2}Bx+B \\ &+ Cx^3+\sqrt{2}Cx^2+Cx+Dx^2+\sqrt{2}Dx+D \\

&= (A+C)x^3 + (B+D-\sqrt{2}A+\sqrt{2}C)x^2 + (A+C-\sqrt{2}B+\sqrt{2}D)x + (B+D)

\end{align*}

となります。

この式が恒等的に1に等しいので、各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式が得られます。

\begin{align*}

A+C &= 0 \\

B+D-\sqrt{2}A+\sqrt{2}C &= 0 \\

A+C-\sqrt{2}B+\sqrt{2}D &= 0 \\

B+D &= 1

\end{align*}

最初の式より、$C=-A$となります。

4番目の式より、$B+D=1$です。

2番目の式に$C=-A$を代入すると、$B+D - \sqrt{2}A - \sqrt{2}A=0$。従って、$1-2\sqrt{2}A=0$となり、$A=\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。

3番目の式に$C=-A$を代入すると、$A-A-\sqrt{2}B+\sqrt{2}D=0$。従って、$-\sqrt{2}B+\sqrt{2}D=0$となり、$B=D$。

$B+D=1$より、$B=D=\frac{1}{2}$。

$C=-A=-\frac{\sqrt{2}}{4}$。

3. 最終的な答え

$A = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$B = \frac{1}{2}$

$C = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

$D = \frac{1}{2}$