不定積分 $\int x(3x+4)^3 dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x(3x+4)^3 dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(3x+4)^3$ を展開します。

$(3x+4)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(4) + 3(3x)(4)^2 + 4^3 = 27x^3 + 108x^2 + 144x + 64$

したがって、積分は次のようになります。

$\int x(3x+4)^3 dx = \int x(27x^3 + 108x^2 + 144x + 64) dx$

これを展開すると、

$\int (27x^4 + 108x^3 + 144x^2 + 64x) dx$

各項を積分します。

$\int 27x^4 dx = \frac{27}{5}x^5 + C_1$

$\int 108x^3 dx = \frac{108}{4}x^4 + C_2 = 27x^4 + C_2$

$\int 144x^2 dx = \frac{144}{3}x^3 + C_3 = 48x^3 + C_3$

$\int 64x dx = \frac{64}{2}x^2 + C_4 = 32x^2 + C_4$

したがって、積分は

$\int (27x^4 + 108x^3 + 144x^2 + 64x) dx = \frac{27}{5}x^5 + 27x^4 + 48x^3 + 32x^2 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{5}x^5 + 27x^4 + 48x^3 + 32x^2 + C$