与えられた積分 $\int \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$ と $dv = \frac{1}{\cos^2 x} dx = \sec^2 x dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ と $v = \int \sec^2 x dx = \tan x$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - \int \tan x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$ です。

ここで、$t = \cos x$ とおくと、$dt = -\sin x dx$ となるので、

$\int \tan x dx = \int \frac{-dt}{t} = -\ln |t| + C = -\ln |\cos x| + C$

となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x - (-\ln |\cos x|) + C = x \tan x + \ln |\cos x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x}{\cos^2 x} dx = x \tan x + \ln |\cos x| + C$