媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = \tan \theta$, $y = \cos 2\theta$ ($-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = \tan \theta$, $y = \cos 2\theta$ ($-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos 2\theta$ を $x = \tan \theta$ を用いて $x$ の関数として表す。

$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ であるから、

$$y = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$$

ここで、$x = \tan \theta$ であり、$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ であるから、$x$ の範囲は $-1 \le x \le 1$ となる。

求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{-1}^{1} y \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \, dx$$

ここで、$f(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ は偶関数であるから、

$$S = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \, dx$$

ここで、$\frac{1 - x^2}{1 + x^2} = \frac{2}{1 + x^2} - 1$ であるから、

$$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{1 + x^2} - 1 \right) \, dx = 2 \left[ 2 \arctan x - x \right]_{0}^{1}$$

$$S = 2 \left[ 2 \arctan 1 - 1 \right] - 2 \left[ 2 \arctan 0 - 0 \right] = 2 \left[ 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 1 \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - 1 \right] = \pi - 2$$

3. 最終的な答え

$\pi - 2$