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曲線 $y = x^3 - 3x$ 上の点 A(1, -2) における接線と法線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線法線導関数曲線
2025/6/22

1. 問題の内容

曲線 y=x3−3xy = x^3 - 3x 上の点 A(1, -2) における接線と法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の導関数を求めます。
y=x3−3xy = x^3 - 3x より、
dydx=3x2−3\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3
次に、点 A(1, -2) における接線の傾きを求めます。これは、導関数に x=1x=1 を代入することで得られます。
m=dydx∣x=1=3(1)2−3=3−3=0m = \frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=1} = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0
したがって、点 A(1, -2) における接線の傾きは 0 です。
接線の方程式は、y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) で与えられます。ここで、(x1,y1)=(1,−2)(x_1, y_1) = (1, -2) であり、m=0m = 0 です。
よって、接線の方程式は
y−(−2)=0(x−1)y - (-2) = 0(x - 1)
y+2=0y + 2 = 0
y=−2y = -2
次に、点 A(1, -2) における法線の方程式を求めます。法線は接線と直交する直線であるため、法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を反転させたものとなります。
接線の傾きが 0 なので、法線の傾きは定義できません。これは、法線が x軸に平行な直線であることを意味します。したがって、法線の方程式は x=1x = 1 となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式：y=−2y = -2
法線の方程式：x=1x = 1

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