与えられた式 $a^2b - a^3 - 3a^2 + 6ab + 9b$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b - a^3 - 3a^2 + 6ab + 9b$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を整理し、共通因数でくくりだすことを試みます。

$a^2b - a^3 - 3a^2 + 6ab + 9b$

$b$ が含まれている項とそうでない項に分けてみます。

$(a^2b + 6ab + 9b) - (a^3 + 3a^2)$

$b$ でくくりだせる部分と $a^2$ でくくりだせる部分があります。

$b(a^2 + 6a + 9) - a^2(a+3)$

$b(a+3)^2 - a^2(a+3)$

ここで、$a+3$ が共通因数として現れましたので、これでくくり出します。

$(a+3)[b(a+3) - a^2]$

$(a+3)(ab + 3b - a^2)$

整理して、

$(a+3)(-a^2 + ab + 3b)$

$(a+3)(-a^2 + ab + 3b)$

$(a+3)(b(a+3)-a^2)$

$a+3$ でくくり出すと、

$(a+3)(b(a+3)-a^2)$

$(a+3)(ab+3b-a^2)$

さらに整理すると

$-(a+3)(a^2-ab-3b)$

3. 最終的な答え

$-(a+3)(a^2-ab-3b)$

または

$(a+3)(-a^2+ab+3b)$

または

$(a+3)(ab+3b-a^2)$