8人の生徒をA, B, Cの3つのグループに、それぞれ2人、2人、4人に分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

8人の生徒をA, B, Cの3つのグループに、それぞれ2人、2人、4人に分ける方法は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、8人の中からAグループの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは ${}_8 C_2$ で表されます。

次に、残りの6人の中からBグループの2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは ${}_6 C_2$ で表されます。

最後に、残りの4人は自動的にCグループになるので、組み合わせは ${}_4 C_4 = 1$ となります。

したがって、すべての組み合わせの数は、${}_8 C_2 \times {}_6 C_2 \times {}_4 C_4$ となります。

しかし、AグループとBグループは人数が同じなので、AとBの区別がない場合、AとBの選び方の順序を考慮する必要はありません。そのため、計算結果を$2!$で割る必要があります。

${}_8 C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${}_4 C_4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

組み合わせの総数 = $28 \times 15 \times 1 = 420$

AとBの区別がないため、$420 / 2! = 420 / 2 = 210$

3. 最終的な答え

210通り