次の3つの問題について、方程式または不等式を解きます。 (1) $|x+4| = 3x$ (2) $|x-3| \le -2x$ (3) $|x+2| > 3x$

1. 問題の内容

次の3つの問題について、方程式または不等式を解きます。

(1) $|x+4| = 3x$

(2) $|x-3| \le -2x$

(3) $|x+2| > 3x$

2. 解き方の手順

(1) $|x+4| = 3x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x+4 \ge 0$ つまり $x \ge -4$ のとき

$x+4 = 3x$

$2x = 4$

$x = 2$

これは $x \ge -4$ を満たすので、解の一つです。

(ii) $x+4 < 0$ つまり $x < -4$ のとき

$-(x+4) = 3x$

$-x - 4 = 3x$

$4x = -4$

$x = -1$

これは $x < -4$ を満たさないので、解ではありません。

(2) $|x-3| \le -2x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき

$x-3 \le -2x$

$3x \le 3$

$x \le 1$

これは $x \ge 3$ を満たさないので、解はありません。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき

$-(x-3) \le -2x$

$-x+3 \le -2x$

$x \le -3$

この解は$x < 3$ を満たします。

さらに、$|x-3| \le -2x$ なので、$-2x \ge 0$。したがって、$x \le 0$。

したがって、$x \le -3$。

(3) $|x+2| > 3x$ の場合

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x+2 \ge 0$ つまり $x \ge -2$ のとき

$x+2 > 3x$

$2 > 2x$

$x < 1$

$x \ge -2$ と $x < 1$ の共通範囲は、$-2 \le x < 1$。

(ii) $x+2 < 0$ つまり $x < -2$ のとき

$-(x+2) > 3x$

$-x - 2 > 3x$

$4x < -2$

$x < -\frac{1}{2}$

$x < -2$ と $x < -\frac{1}{2}$ の共通範囲は、$x < -2$。

(i)と(ii)の場合より、解は$x < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $x \le -3$

(3) $x < 1$