与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点と同一の頂点を持ち、$y$軸と点 $(0, 2)$ で交わる2次関数を求めます。 (2) 3点 $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 6)$ を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点と同一の頂点を持ち、$y$軸と点 $(0, 2)$ で交わる2次関数を求めます。

(2) 3点 $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 6)$ を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線 $y = 2x^2 + 4x + 1$ の頂点を求めます。平方完成を行い、頂点の座標を特定します。

次に、求める2次関数の形を $y = a(x - h)^2 + k$ とおきます。ここで、$(h, k)$ は頂点の座標であり、$a$ は定数です。

$y$軸との交点が $(0, 2)$ であることから、この点を代入して $a$ の値を求めます。

最後に、$a, h, k$ の値を代入して2次関数を決定します。

(2) 3点 $(3, 0)$, $(-1, 0)$, $(2, 6)$ を通る2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

3点の座標をそれぞれ代入して、$a, b, c$ に関する3つの連立方程式を作ります。

その連立方程式を解いて、$a, b, c$ の値を求め、2次関数を決定します。

(1) の詳細な手順

$y = 2x^2 + 4x + 1 = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x + 1)^2 - 2 + 1 = 2(x + 1)^2 - 1$

したがって、頂点は $(-1, -1)$ です。

求める2次関数を $y = a(x + 1)^2 - 1$ とおきます。

$y$軸との交点が $(0, 2)$ であることから、$x = 0$ のとき $y = 2$ となります。

$2 = a(0 + 1)^2 - 1$

$2 = a - 1$

$a = 3$

よって、求める2次関数は $y = 3(x + 1)^2 - 1 = 3(x^2 + 2x + 1) - 1 = 3x^2 + 6x + 3 - 1 = 3x^2 + 6x + 2$ となります。

(2) の詳細な手順

求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

点 $(3, 0)$ を通ることから、$9a + 3b + c = 0$ ...(1)

点 $(-1, 0)$ を通ることから、$a - b + c = 0$ ...(2)

点 $(2, 6)$ を通ることから、$4a + 2b + c = 6$ ...(3)

(1)-(2)より、$8a + 4b = 0$ つまり $2a + b = 0$ より $b = -2a$

(3)-(2)より、$3a + 3b = 6$ つまり $a + b = 2$

$b = -2a$ を $a + b = 2$ に代入すると、 $a - 2a = 2$ つまり $-a = 2$ より $a = -2$

したがって、$b = -2a = -2(-2) = 4$

(2)より、$a - b + c = 0$ つまり $-2 - 4 + c = 0$ より $c = 6$

よって、求める2次関数は $y = -2x^2 + 4x + 6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 6x + 2$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 6$