$x, y$ は実数とする。対偶を考えて、命題「$x+y > 3 \Rightarrow x > 2$ または $y > 1$」を証明する。

## 問題114(2)の解答

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。対偶を考えて、命題「$x+y > 3 \Rightarrow x > 2$ または $y > 1$」を証明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の対偶を作る。

元の命題が「$P \Rightarrow Q$」のとき、対偶は「$\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$」となる。

ここで、$P$ は「$x+y > 3$」、 $Q$ は「$x > 2$ または $y > 1$」である。

$\overline{P}$ は「$x+y \leq 3$」となる。

$\overline{Q}$ は「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$」となる。

したがって、対偶は「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1 \Rightarrow x+y \leq 3$」となる。

対偶が真であることを証明する。

$x \leq 2$ かつ $y \leq 1$ であると仮定する。

このとき、$x+y \leq 2+1$ である。

つまり、$x+y \leq 3$ となる。

したがって、対偶「$x \leq 2$ かつ $y \leq 1 \Rightarrow x+y \leq 3$」は真である。

対偶が真であることから、元の命題「$x+y > 3 \Rightarrow x > 2$ または $y > 1$」も真である。

3. 最終的な答え

命題「$x+y > 3 \Rightarrow x > 2$ または $y > 1$」は真である。

## 問題114(3)の解答

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。対偶を考えて、命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶を作る。

元の命題が「$P \Rightarrow Q$」のとき、対偶は「$\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$」となる。

ここで、$P$ は「$n^2$ が3の倍数でない」、 $Q$ は「$n$ は3の倍数でない」である。

$\overline{P}$ は「$n^2$ が3の倍数である」となる。

$\overline{Q}$ は「$n$ は3の倍数である」となる。

したがって、対偶は「$n$ が3の倍数である $\Rightarrow n^2$ が3の倍数である」となる。

対偶が真であることを証明する。

$n$ が3の倍数であると仮定する。

このとき、$n = 3k$ ( $k$は整数) と表せる。

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$

$3k^2$ は整数なので、$n^2$ は3の倍数である。

したがって、対偶「$n$ が3の倍数である $\Rightarrow n^2$ が3の倍数である」は真である。

対偶が真であることから、元の命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」も真である。

3. 最終的な答え

命題「$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない」は真である。

## 問題114(4)の解答

1. 問題の内容

$n$ は整数とする。対偶を考えて、命題「$n^3+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶を作る。

元の命題が「$P \Rightarrow Q$」のとき、対偶は「$\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$」となる。

ここで、$P$ は「$n^3+1$ が奇数」、 $Q$ は「$n$ は偶数である」である。

$\overline{P}$ は「$n^3+1$ が偶数である」となる。

$\overline{Q}$ は「$n$ は奇数である」となる。

したがって、対偶は「$n$ が奇数である $\Rightarrow n^3+1$ が偶数である」となる。

対偶が真であることを証明する。

$n$ が奇数であると仮定する。

このとき、$n = 2k+1$ ( $k$は整数) と表せる。

$n^3+1 = (2k+1)^3+1 = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 1 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)$

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3+1$ は偶数である。

したがって、対偶「$n$ が奇数である $\Rightarrow n^3+1$ が偶数である」は真である。

対偶が真であることから、元の命題「$n^3+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

命題「$n^3+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」は真である。