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与えられた行列 $A$ を行基本変形を用いて階段行列 $B$ に変形せよ。 行列 $A$ は以下である。 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 3 & -6 & 5 & 6 \\ 2 & -2 & -2 & -3 & 9 & -13 \end{bmatrix}$

代数学線形代数行列行基本変形階段行列
2025/6/22

1. 問題の内容

与えられた行列 AA を行基本変形を用いて階段行列 BB に変形せよ。
行列 AA は以下である。
A=[1−11−23−20022−421−13−6562−2−2−39−13]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 3 & -6 & 5 & 6 \\ 2 & -2 & -2 & -3 & 9 & -13 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列 AA を行基本変形を用いて階段行列に変形する。
ステップ1: 3行目から1行目を引く (R3→R3−R1R_3 \rightarrow R_3 - R_1)。
[1−11−23−20022−42002−4282−2−2−39−13] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 2 & 8 \\ 2 & -2 & -2 & -3 & 9 & -13 \end{bmatrix}
ステップ2: 4行目から1行目の2倍を引く (R4→R4−2R1R_4 \rightarrow R_4 - 2R_1)。
[1−11−23−20022−42002−42800−413−9] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & -4 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & 3 & -9 \end{bmatrix}
ステップ3: 3行目から2行目を引く (R3→R3−R2R_3 \rightarrow R_3 - R_2)。
[1−11−23−20022−42000−66600−413−9] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & 3 & -9 \end{bmatrix}
ステップ4: 4行目に2行目の2倍を足す (R4→R4+2R2R_4 \rightarrow R_4 + 2R_2)。
[1−11−23−20022−42000−6660005−5−5] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -6 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 & -5 \end{bmatrix}
ステップ5: 3行目を -6 で割る (R3→R3/(−6)R_3 \rightarrow R_3 / (-6))。
[1−11−23−20022−420001−1−10005−5−5] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -5 & -5 \end{bmatrix}
ステップ6: 4行目から3行目の5倍を引く (R4→R4−5R3R_4 \rightarrow R_4 - 5R_3)。
[1−11−23−20022−420001−1−1000000] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
ステップ7: 2行目を2で割る (R2→R2/2R_2 \rightarrow R_2 / 2)。
[1−11−23−20011−210001−1−1000000] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

したがって、階段行列 BB は
B=[1−11−23−20011−210001−1−1000000]B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
となる。

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