与えられた分数の計算問題を解きます。全部で9問あります。

1. 問題の内容

与えられた分数の計算問題を解きます。全部で9問あります。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で計算を行います。

(1) $\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x}$

分母を$6x$に揃えます。

$\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x} = \frac{3}{6x} + \frac{4}{6x} = \frac{7}{6x}$

(2) $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$

分母を$(x+1)(x-1)$に揃えます。

$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1) + (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}$

(3) $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3}$

分母を$(x-1)(x+3)$に揃えます。

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} = \frac{x+3}{(x-1)(x+3)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+3)} = \frac{(x+3) - (x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{x^2 + 2x - 3}$

(4) $\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)}$

分母を$x(x+3)$に揃えます。

$\frac{2}{x+3} + \frac{3}{x(x+3)} = \frac{2x}{x(x+3)} + \frac{3}{x(x+3)} = \frac{2x + 3}{x(x+3)} = \frac{2x+3}{x^2+3x}$

(5) $\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{x^2 + 3x + 2}$

$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$なので、分母を$(x+1)(x+2)$に揃えます。

$\frac{x}{x+2} - \frac{2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x(x+1)}{(x+1)(x+2)} - \frac{2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 + x - 2x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - x}{(x+1)(x+2)} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2-x}{x^2+3x+2}$

(6) $\frac{2}{x^2 + 2x} - \frac{1}{x^2 + x}$

$x^2 + 2x = x(x+2)$, $x^2 + x = x(x+1)$なので、分母を$x(x+1)(x+2)$に揃えます。

$\frac{2}{x(x+2)} - \frac{1}{x(x+1)} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} - \frac{(x+2)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2 - x - 2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x^2 + 3x + 2}$

(7) $\frac{1}{x^2 + x - 2} + \frac{1}{x^2 - x - 6}$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$なので、分母を$(x+2)(x-1)(x-3)$に揃えます。

$\frac{1}{(x+2)(x-1)} + \frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{x-3}{(x+2)(x-1)(x-3)} + \frac{x-1}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{x-3 + x-1}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{2x-4}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-1)(x-3)} = \frac{2x-4}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}$

(8) $\frac{3}{x^2 - x - 12} - \frac{2}{x^2 + 2x - 24}$

$x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$, $x^2 + 2x - 24 = (x+6)(x-4)$なので、分母を$(x-4)(x+3)(x+6)$に揃えます。

$\frac{3}{(x-4)(x+3)} - \frac{2}{(x+6)(x-4)} = \frac{3(x+6)}{(x-4)(x+3)(x+6)} - \frac{2(x+3)}{(x-4)(x+3)(x+6)} = \frac{3x+18 - 2x - 6}{(x-4)(x+3)(x+6)} = \frac{x+12}{(x-4)(x+3)(x+6)} = \frac{x+12}{x^3 + 5x^2 - 6x - 72}$

(9) $\frac{2x+4}{x^2 + 4x + 3} - \frac{x-6}{x^2 - 3x - 18}$

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$, $x^2 - 3x - 18 = (x-6)(x+3)$なので、分母を$(x+1)(x+3)(x-6)$に揃えます。

$\frac{2x+4}{(x+1)(x+3)} - \frac{x-6}{(x-6)(x+3)} = \frac{(2x+4)(x-6)}{(x+1)(x+3)(x-6)} - \frac{(x-6)(x+1)}{(x+1)(x+3)(x-6)} = \frac{2x^2 - 8x - 24 - (x^2 - 5x - 6)}{(x+1)(x+3)(x-6)} = \frac{x^2 - 3x - 18}{(x+1)(x+3)(x-6)} = \frac{(x-6)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x-6)} = \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{6x}$

(2) $\frac{2x}{x^2 - 1}$

(3) $\frac{4}{x^2 + 2x - 3}$

(4) $\frac{2x+3}{x^2+3x}$

(5) $\frac{x^2-x}{x^2+3x+2}$

(6) $\frac{1}{x^2 + 3x + 2}$

(7) $\frac{2x-4}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}$

(8) $\frac{x+12}{x^3 + 5x^2 - 6x - 72}$

(9) $\frac{1}{x+1}$