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問題は以下の3つです。 (1) $a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$, $b = |2\sqrt{2}-3|$ のとき、$a$ の分母を有理化して簡単にすること。 (2) $a+b$ の値を求めること。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めること。 (3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めること。

代数学式の計算分母の有理化絶対値平方根式の展開根号を含む式の計算
2025/6/22

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。
(1) a=2+12−1a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}, b=∣22−3∣b = |2\sqrt{2}-3| のとき、aa の分母を有理化して簡単にすること。
(2) a+ba+b の値を求めること。また、(a+b)2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 の値を求めること。
(3) 2a−ba+b−a+2ba−b\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) aa の分母を有理化します。
a=2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=2+22+12−1=3+221=3+22a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}
(2) b=∣22−3∣b = |2\sqrt{2}-3| を計算します。
22=82\sqrt{2} = \sqrt{8} であり、9=3\sqrt{9} = 3 であるので、22<32\sqrt{2} < 3 です。
したがって、b=∣22−3∣=3−22b = |2\sqrt{2}-3| = 3 - 2\sqrt{2} となります。
a+b=(3+22)+(3−22)=6a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6
(a+b)2=a+2ab+b=a+b+2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = a+b + 2\sqrt{ab}
ab=(3+22)(3−22)=9−(22)2=9−8=1ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1
(a+b)2=6+21=6+2=8(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 6 + 2\sqrt{1} = 6 + 2 = 8
(3) 2a−ba+b−a+2ba−b\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} を計算します。
2a−ba+b−a+2ba−b=(2a−b)(a−b)−(a+2b)(a+b)(a+b)(a−b)\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{a}+\sqrt{2b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}
=2a−2ab−ab+b−(a+ab+2ab+2b)a−b= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2a}\sqrt{b} - \sqrt{ab} + b - (a + \sqrt{ab} + \sqrt{2ab} + \sqrt{2}b)}{a-b}
=2a−2ab−ab+b−a−ab−2ab−2ba−b= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2ab} - \sqrt{2}b}{a-b}
=2(a−b)−a+b−2ab−22aba−b=2(a−b)−(a−b)−2ab−22aba−b= \frac{\sqrt{2}(a-b) - a + b -2\sqrt{ab}-2\sqrt{2ab}}{a-b} = \frac{\sqrt{2}(a-b)-(a-b)-2\sqrt{ab}-2\sqrt{2}\sqrt{ab}}{a-b}
a−b=(3+22)−(3−22)=42a-b = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}
ab=1ab = 1 なので ab=1\sqrt{ab} = 1
2(42)−(42)−21−22142=8−42−2−2242=6−6242=3−3222=32−64\frac{\sqrt{2}(4\sqrt{2})-(4\sqrt{2})-2\sqrt{1}-2\sqrt{2}\sqrt{1}}{4\sqrt{2}} = \frac{8-4\sqrt{2}-2-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{6-6\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{3-3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}-6}{4}

3. 最終的な答え

(1) a=3+22a = 3+2\sqrt{2}
(2) a+b=6a+b = 6, (a+b)2=8(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8
(3) 2a−ba+b−a+2ba−b=32−64\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{2}-6}{4}

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