軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1)$ と $(3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

1. 問題の内容

軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1)$ と $(3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

2. 解き方の手順

2次関数の式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

軸の方程式が $x = 1$ なので、$x = -\frac{b}{2a} = 1$ が成り立つ。

これから $b = -2a$ である。

次に、2点 $(0, 1)$ と $(3, 7)$ を通るので、以下の式が成り立つ。

$x = 0, y = 1$ を代入すると、

$1 = a(0)^2 + b(0) + c$ より、 $c = 1$

$x = 3, y = 7$ を代入すると、

$7 = a(3)^2 + b(3) + c$ より、 $7 = 9a + 3b + c$

$c = 1$ を代入すると、

$7 = 9a + 3b + 1$

$6 = 9a + 3b$

$2 = 3a + b$

$b = -2a$ を代入すると、

$2 = 3a - 2a$

$2 = a$

よって、$a = 2$

$b = -2a$ より、 $b = -2(2) = -4$

したがって、$a = 2, b = -4, c = 1$ なので、2次関数は $y = 2x^2 - 4x + 1$ となる。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 1$