与えられた関数の最大値と最小値を、指定された $x$ の範囲内で求めます。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている４つの関数について、それぞれの最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の最大値と最小値を、指定された $x$ の範囲内で求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1 \quad (-2 \le x < 1)$

まず、関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 3$

この関数は上に凸な放物線で、頂点は $(-1, 3)$ です。

$x = -1$ は範囲 $-2 \le x < 1$ に含まれるので、$x = -1$ で最大値 $3$ をとります。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2 + 1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -2(1 + 1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -5$。ただし、$x < 1$ なので、$x = 1$ の値は含みません。$x$が1に近づくほどyは-5に近づきます。

したがって、最小値はありません。

(2) $y = x^2 + 3x + 3 \quad (0 < x \le 2)$

まず、関数を平方完成します。

$y = (x^2 + 3x) + 3$

$y = (x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 3$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

この関数は下に凸な放物線で、頂点は $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ です。

範囲 $0 < x \le 2$ では、$x$ が $0$ に近いほど、$y$ は $3$ に近づきます。ただし、$x > 0$ なので、$x = 0$ の値は含みません。したがって、最小値はありません。

$x = 2$ のとき、$y = (2 + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} = (\frac{7}{2})^2 + \frac{3}{4} = \frac{49}{4} + \frac{3}{4} = \frac{52}{4} = 13$

したがって、$x = 2$ で最大値 $13$ をとります。

(3) $y = 3(x + 1)(x - 2) \quad (0 \le x < 3)$

まず、関数を展開します。

$y = 3(x^2 - 2x + x - 2)$

$y = 3(x^2 - x - 2)$

$y = 3x^2 - 3x - 6$

次に、関数を平方完成します。

$y = 3(x^2 - x) - 6$

$y = 3(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 6$

$y = 3((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 6$

$y = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} - 6$

$y = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

この関数は下に凸な放物線で、頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{27}{4})$ です。

$x = \frac{1}{2}$ は範囲 $0 \le x < 3$ に含まれるので、$x = \frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{27}{4}$ をとります。

$x = 0$ のとき、$y = 3(0 + 1)(0 - 2) = -6$

$x = 3$ のとき、$y = 3(3 + 1)(3 - 2) = 3(4)(1) = 12$。ただし、$x < 3$ なので、$x = 3$ の値は含みません。$x$が3に近づくほどyは12に近づきます。

したがって、最大値はありません。

(4) $y = x^2 - 2x + 2 \quad (-1 < x < 2)$

まず、関数を平方完成します。

$y = (x^2 - 2x) + 2$

$y = (x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$

$y = (x - 1)^2 - 1 + 2$

$y = (x - 1)^2 + 1$

この関数は下に凸な放物線で、頂点は $(1, 1)$ です。

$x = 1$ は範囲 $-1 < x < 2$ に含まれるので、$x = 1$ で最小値 $1$ をとります。

$x = -1$ のとき、$y = (-1 - 1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$。ただし、$x > -1$ なので、$x = -1$ の値は含みません。$x$が-1に近づくほどyは5に近づきます。

$x = 2$ のとき、$y = (2 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$。ただし、$x < 2$ なので、$x = 2$ の値は含みません。$x$が2に近づくほどyは2に近づきます。

したがって、最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $3$ ($x = -1$ のとき), 最小値: なし

(2) 最大値: $13$ ($x = 2$ のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: なし, 最小値: $-\frac{27}{4}$ ($x = \frac{1}{2}$ のとき)

(4) 最大値: なし, 最小値: $1$ ($x = 1$ のとき)