問題は2つの部分に分かれています。 (1) 実数 $x, y$ について、$x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ の真偽を判定すること。 (3) 整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない、という命題が与えられています。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

(1) 実数 $x, y$ について、$x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$ の真偽を判定すること。

(3) 整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない、という命題が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) この命題の対偶を考えます。対偶は、$x = 1 \implies x^3 = 1$ です。

$x=1$ を $x^3$ に代入すると、$1^3 = 1$ となり、対偶は真です。したがって、元の命題も真です。

(3) 与えられた命題の対偶を考えます。

元の命題: $n^2$ が3の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない。

対偶: $n$ が3の倍数であるならば、$n^2$ は3の倍数である。

$n$ が3の倍数であると仮定すると、$n = 3k$ (ここで $k$ は整数) と書けます。

このとき、$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は3の倍数です。

したがって、対偶は真です。元の命題も真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(3) 真