2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が 4 であるとき、$a$ の値を求める。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求める。また、(2) の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ここで、$a$ は正の定数である。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が 4 であるとき、$a$ の値を求める。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求める。また、(2) の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - 1 - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - a^2 - a + 10$

したがって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$ である。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したグラフを表す関数 $y = g(x)$ は、

$g(x) = f(x - 3) - 4 = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 11 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - a^2 - a + 7 = x^2 - 8x + 22 - a^2 - a = (x - 4)^2 - 16 + 22 - a^2 - a = (x - 4)^2 + 6 - a^2 - a$

したがって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(4, 6 - a^2 - a)$ である。

$g(x)$ の最小値は $6 - a^2 - a$ である。これが 4 であるので、

$6 - a^2 - a = 4$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2$ または $a = 1$

$a$ は正の定数であるので、$a = 1$

(3) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x - 1^2 - 1 + 11 = x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8$

$g(x) = x^2 - 8x + 22 - 1^2 - 1 = x^2 - 8x + 20 = (x - 4)^2 + 4$

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値 $M$ を求める。

$f(x)$ は $x = 1$ を軸とする下に凸な放物線である。

$M = \max\{f(0), f(t)\} = \max\{9, t^2 - 2t + 9\}$

$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値 $m$ を求める。

$g(x)$ は $x = 4$ を軸とする下に凸な放物線である。

$g(x)$ は $x = 4$ で最小値 4 をとる。

$0 \le t < 4$ のとき、$m = g(t) = t^2 - 8t + 20$

$t \ge 4$ のとき、$m = 4$

$M + m = 25$

$t \ge 4$ のとき、$\max\{9, t^2 - 2t + 9\} + 4 = 25$, つまり、$\max\{9, t^2 - 2t + 9\} = 21$.

したがって $t^2 - 2t + 9 = 21$, $t^2 - 2t - 12 = 0$, $t = 1 \pm \sqrt{13}$.

$t \ge 4$ より $t = 1 + \sqrt{13} \approx 4.605 > 4$

$0 \le t < 4$ のとき、$\max\{9, t^2 - 2t + 9\} + t^2 - 8t + 20 = 25$

$9 + t^2 - 8t + 20 = 25$ または $t^2 - 2t + 9 + t^2 - 8t + 20 = 25$

$t^2 - 8t + 4 = 0$ より $t = 4 \pm 2 \sqrt{3}$ これは $0 \le t < 4$ を満たさない。

$2t^2 - 10t + 4 = 0$, $t^2 - 5t + 2 = 0$, $t = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$t = \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.438$, $t = \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4.56$

$t = (5 - \sqrt{17})/2$ のとき、$M = 9$, $m = 16 - 20 \sqrt{17}/2 + 17/4 - 40 + 2 \sqrt{17} + 20 = -20 \sqrt{17}/2 + 17/4 +2 \sqrt{17}/2 +17= (-8+16+2)/(4) = 3.863$.

$t = 1+\sqrt{13}$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $(4, 6 - a^2 - a)$, $a = 1$

(3) $M = \max\{9, t^2 - 2t + 9\}$, $m = \min\{g(x) | 0 \le x \le t\}$, $t = 1 + \sqrt{13}$