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$a = 5$ の場合に、行列 $A$ が与えられたとき、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。 ここで、$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$ です。 行列 $A$ は、$a$ を含む形で与えられているはずですが、画像には含まれていません。しかし、$a = 5$という条件と$AX = B$から、行列$A$を特定して問題を解く必要があります。ここでは、仮に$A$が与えられた行列の転置であると仮定して問題を解きます。 つまり、$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$と仮定します。

代数学線形代数行列連立方程式行列の計算
2025/6/22

1. 問題の内容

a=5a = 5 の場合に、行列 AA が与えられたとき、AX=BAX = B を満たす行列 XX を求める問題です。
ここで、B=(1120110−30)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} です。
行列 AA は、aa を含む形で与えられているはずですが、画像には含まれていません。しかし、a=5a = 5という条件とAX=BAX = Bから、行列AAを特定して問題を解く必要があります。ここでは、仮にAAが与えられた行列の転置であると仮定して問題を解きます。
つまり、A=(10011−3210)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}と仮定します。

2. 解き方の手順

まず、行列 XX を (x11x12x13x21x22x23x31x32x33)\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} とおきます。
AX=BAX = B は、以下のようになります。
(10011−3210)(x11x12x13x21x22x23x31x32x33)=(1120110−30)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}
左辺の行列の積を計算すると、
(x11x12x13x11+x21−3x31x12+x22−3x32x13+x23−3x332x11+x212x12+x222x13+x23)=(1120110−30)\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{11}+x_{21}-3x_{31} & x_{12}+x_{22}-3x_{32} & x_{13}+x_{23}-3x_{33} \\ 2x_{11}+x_{21} & 2x_{12}+x_{22} & 2x_{13}+x_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}
この等式から、以下の連立方程式が得られます。
\begin{align*}
x_{11} &= 1 \\
x_{12} &= 1 \\
x_{13} &= 2 \\
x_{11}+x_{21}-3x_{31} &= 0 \\
x_{12}+x_{22}-3x_{32} &= 1 \\
x_{13}+x_{23}-3x_{33} &= 1 \\
2x_{11}+x_{21} &= 0 \\
2x_{12}+x_{22} &= -3 \\
2x_{13}+x_{23} &= 0
\end{align*}
これらの式を解きます。
x11=1x_{11} = 1, x12=1x_{12} = 1, x13=2x_{13} = 2.
x21=−2x11=−2x_{21} = -2x_{11} = -2, x22=−3−2x12=−3−2=−5x_{22} = -3 - 2x_{12} = -3-2 = -5, x23=−2x13=−4x_{23} = -2x_{13} = -4.
x31=x11+x213=1−23=−13x_{31} = \frac{x_{11}+x_{21}}{3} = \frac{1-2}{3} = -\frac{1}{3}, x32=x12+x22−13=1−5−13=−53x_{32} = \frac{x_{12}+x_{22}-1}{3} = \frac{1-5-1}{3} = \frac{-5}{3}, x33=x13+x23−13=2−4−13=−33=−1x_{33} = \frac{x_{13}+x_{23}-1}{3} = \frac{2-4-1}{3} = \frac{-3}{3} = -1.
したがって、行列 XX は
X=(112−2−5−4−13−53−1)X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -5 & -4 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X=(112−2−5−4−13−53−1)X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -5 & -4 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & -1 \end{pmatrix}

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