問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) 平方数の総和の公式を書き、具体例として $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2$ を計算する。 (2) 立方数の総和の公式を書く。 (3) 展開式 $(k+1)^4 - k^4$ を用いて、立方数の総和の公式(2)を導く。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) 平方数の総和の公式を書き、具体例として $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2$ を計算する。

(2) 立方数の総和の公式を書く。

(3) 展開式 $(k+1)^4 - k^4$ を用いて、立方数の総和の公式(2)を導く。

2. 解き方の手順

(1) 平方数の総和の公式は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これを用いると、例えば、

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10 + 1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

(2) 立方数の総和の公式は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

(3) 展開式 $(k+1)^4 - k^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$

これを用いると、

$\sum_{k=1}^{n} \left\{ (k+1)^4 - k^4 \right\} = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1)$

左辺は、

$\sum_{k=1}^{n} \left\{ (k+1)^4 - k^4 \right\} = (2^4 - 1^4) + (3^4 - 2^4) + \cdots + ((n+1)^4 - n^4) = (n+1)^4 - 1^4 = (n+1)^4 - 1$

右辺は、

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

したがって、

$(n+1)^4 - 1 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = (n+1)^4 - 1 - 6 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = (n+1)^4 - 1 - 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - 1 - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - n(2n^2 + 3n + 1) - 2n^2 - 2n - n$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - 2n^3 - 3n^2 - n - 2n^2 - 2n - n$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^4 + 2n^3 + n^2$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^2(n^2 + 2n + 1)$

$4 \sum_{k=1}^{n} k^3 = n^2(n+1)^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 10^2 = 385$

(2) $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

(3) $(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$, 立方数の総和公式は$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$