与えられた2つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が$\sqrt{5}-\sqrt{2}$なので、分母の共役な複素数である$\sqrt{5}+\sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}$

$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

(2) 分母が$\sqrt{3}-\sqrt{2}$なので、分母の共役な複素数である$\sqrt{3}+\sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{\sqrt{6}+2}{3-2}$

$= \frac{\sqrt{6}+2}{1}$

$= \sqrt{6}+2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$

(2) $\sqrt{6}+2$