与えられた2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ について、グラフとx軸の共有点の有無を2つの方法で調べ、空欄を埋める問題です。 (1) 2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ を解き、解の個数から共有点の有無を判断します。 (2) 2次関数のグラフの頂点を求め、グラフの概形から共有点の有無を判断します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ について、グラフとx軸の共有点の有無を2つの方法で調べ、空欄を埋める問題です。

(1) 2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ を解き、解の個数から共有点の有無を判断します。

(2) 2次関数のグラフの頂点を求め、グラフの概形から共有点の有無を判断します。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $-x^2 + 3x - 4 = 0$ を解きます。まず、両辺に-1をかけて $x^2 - 3x + 4 = 0$ とします。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$

根号の中は $-7$ となり、負の数なので、実数解は存在しません。したがって、アには $\frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$ が入り、イには $-7$ が入ります。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求めます。平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$ となります。

$y = -x^2 + 3x - 4$ の $x^2$ の係数が負なので、グラフは上に凸の放物線となります。

頂点のy座標が負なので、グラフはx軸よりも下にあります。

したがって、グラフは④のようになります。

ウには $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$ が入り、エには④が入ります。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$

イ: $-7$

ウ: $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$

エ: ④