問題116の(1)と(2)を解きます。 (1) 全体集合を $\{x | x^2 \le 25, x \text{は整数}\}$ とし、集合 $A = \{2, a+1, a+2\}$ と集合 $B = \{-4, a-1, 8-a\}$ が与えられている。$A \cap B = \{2, 5\}$ となるような $a$ の値を求める。 (2) 集合 $A = \{x | 1 \le x \le a\}$ と集合 $B = \{x | 2 < x < 5\}$ が与えられている。$A \cap B$ が整数を1つだけ含むような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題116の(1)と(2)を解きます。

(1) 全体集合を $\{x | x^2 \le 25, x \text{は整数}\}$ とし、集合 $A = \{2, a+1, a+2\}$ と集合 $B = \{-4, a-1, 8-a\}$ が与えられている。$A \cap B = \{2, 5\}$ となるような $a$ の値を求める。

(2) 集合 $A = \{x | 1 \le x \le a\}$ と集合 $B = \{x | 2 < x < 5\}$ が与えられている。$A \cap B$ が整数を1つだけ含むような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$A \cap B = \{2, 5\}$ であるから、2と5は両方の集合に含まれている。

まず、集合Aについて考える。2はすでにAに含まれているので、残りの要素$a+1$または$a+2$のいずれかが5でなければならない。

場合1: $a+1 = 5$ のとき、$a = 4$。このとき、$A = \{2, 5, 6\}$、$B = \{-4, 3, 4\}$。$A \cap B = \{ \emptyset \}$となり、$A \cap B = \{2, 5\}$ を満たさない。

場合2: $a+2 = 5$ のとき、$a = 3$。このとき、$A = \{2, 4, 5\}$、$B = \{-4, 2, 5\}$。$A \cap B = \{2, 5\}$となり、$A \cap B = \{2, 5\}$ を満たす。

したがって、$a = 3$ である。

(2)

集合 $A = \{x | 1 \le x \le a\}$、集合 $B = \{x | 2 < x < 5\}$ であるから、$A \cap B = \{x | 2 < x < 5, 1 \le x \le a\}$となる。

$A \cap B$ が整数を1つだけ含むためには、整数が3のみ、または4のみである必要がある。

場合1: $A \cap B$ が整数3のみを含むとき、$3 \in A \cap B$ かつ $4 \notin A \cap B$。

$3 \in A \cap B$ であるためには、$3 \le a$ である必要がある。

$4 \notin A \cap B$ であるためには、$a < 4$ である必要がある。

したがって、$3 \le a < 4$。

場合2: $A \cap B$ が整数4のみを含むとき、$4 \in A \cap B$ かつ $3 \notin A \cap B$。

$4 \in A \cap B$ であるためには、$4 \le a$ である必要がある。

$3 \notin A \cap B$ であるためには、$a < 3$ はありえない。

$4 \le a < 5$のとき、$A \cap B$ には4が含まれる。$5 \le a$のとき、$A \cap B$ には4より大きい数も含まれてしまう。

従って、$3 < a < 4$ かつ $4 \le a < 5$ はありえない。$a = 4$のとき、$A \cap B = \{x | 2 < x < 4\}$ であり、整数3が含まれるため条件を満たさない。

$4 \le a < 5$。$A \cap B$ には 3 < x < 4 が含まれる。もし $a = 3$ なら、$A = [1,3]$ であり、$A \cap B = (2, 3]$ で、$x = 3$ を含む唯一の整数。もし $a = 4$ なら、$A = [1,4]$ で、$A \cap B = (2,4]$ で、$x = 3, 4$ を含む。

従って、求める範囲は $3 \le a < 4$。

したがって、$3 \le a < 4$ 。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $3 \le a < 4$