$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最大値、最小値を、$a$ が次の範囲にある場合について、それぞれ求める。 (1) $a \le -2$ (2) $-2 < a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a < 0$ (5) $a \ge 0$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最大値、最小値を、$a$ が次の範囲にある場合について、それぞれ求める。

(1) $a \le -2$

(2) $-2 < a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a < 0$

(5) $a \ge 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2((x+a)^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

よって、この関数の軸は $x = -a$ である。 定義域は $0 \le x \le 2$ である。

(1) $a \le -2$ のとき、$-a \ge 2$ なので、軸 $x = -a$ は定義域の右側にある。

この場合、関数は $x=0$ で最大値をとり、$x=2$ で最小値をとる。

最大値：$y(0) = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$

最小値：$y(2) = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、$1 < -a < 2$ なので、軸 $x = -a$ は $1 < x < 2$ の範囲にある。

この場合、関数は $x=0$ で最大値をとり、$x = -a$ で最小値をとる。

最大値：$y(0) = 0$

最小値：$y(-a) = 2(-a+a)^2 - 2a^2 = -2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、軸は $x=1$ である。

この場合、関数は $x=0$ または $x=2$ で最大値をとり、$x = 1$ で最小値をとる。

最大値：$y(0) = 0$ または $y(2) = 8 + 8(-1) = 0$

最小値：$y(1) = 2(1)^2 + 4(-1)(1) = 2 - 4 = -2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、$0 < -a < 1$ なので、軸 $x = -a$ は $0 < x < 1$ の範囲にある。

この場合、関数は $x=2$ で最大値をとり、$x = -a$ で最小値をとる。

最大値：$y(2) = 8 + 8a$

最小値：$y(-a) = -2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき、$-a \le 0$ なので、軸 $x = -a$ は定義域の左側にある。

この場合、関数は $x=2$ で最大値をとり、$x=0$ で最小値をとる。

最大値：$y(2) = 8 + 8a$

最小値：$y(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a \le -2$ のとき

最大値：$0$

最小値：$8 + 8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき

最大値：$0$

最小値：$-2a^2$

(3) $a = -1$ のとき

最大値：$0$

最小値：$-2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき

最大値：$8 + 8a$

最小値：$-2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき

最大値：$8 + 8a$

最小値：$0$