$a>0$ のとき、2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$ のとき、2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2((x-1)^2 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1$

よって、この関数の頂点は $(1, -1)$ です。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ の範囲で最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ です。

(i) $0 < a < 1$ のとき、定義域は $0 \le x \le a$ であり、頂点 $x = 1$ は定義域に含まれません。よって、$x = a$ で最小値をとります。

このとき、最小値は $y = 2(a-1)^2 - 1 = 2(a^2 - 2a + 1) - 1 = 2a^2 - 4a + 2 - 1 = 2a^2 - 4a + 1$ です。

最小値をとる $x$ の値は $x = a$ です。

(ii) $a \ge 1$ のとき、定義域は $0 \le x \le a$ であり、頂点 $x = 1$ は定義域に含まれます。よって、$x = 1$ で最小値をとります。

このとき、最小値は $y = -1$ です。

最小値をとる $x$ の値は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 1$ ($x = a$)

$a \ge 1$ のとき、最小値は $-1$ ($x = 1$)