与えられた式 $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を展開し、因数分解することを目的とします。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を展開し、因数分解することを目的とします。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、式を整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 - ac^2 + ca^2 + bc^2 - cb^2$

共通因数でくくります。

$ab^2 - ba^2 - ac^2 + ca^2 + bc^2 - cb^2 = ab(b-a) - c^2(a-b) + c(b^2 - a^2)$

$= ab(b-a) + c^2(b-a) + c(b-a)(b+a)$

$= (b-a)[ab + c^2 + c(b+a)]$

$= (b-a)[ab + c^2 + bc + ac]$

$= (b-a)[a(b+c) + c(b+c)]$

$= (b-a)(b+c)(a+c)$

$= -(a-b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b+c)(c+a)$

または

$(a-b)(b+c)(c+a) = -(a-b)(b+c)(a+c)$

とも表現できます。

しかし、通常、アルファベット順に並べ替えることを好みます。

$-(a-b)(b+c)(c+a) = -(a-b)(b+c)(a+c)$

$= (a-b)(b+c)(-1)(a+c)$

$= (a-b)(b+c)(-a-c)$

$= -(a-b)(b+c)(a+c)$

$= -(a-b)(a+c)(b+c)$

$= (b-a)(a+c)(b+c)$

最終的な答え: $(b-a)(a+c)(b+c)$

または、$-(a-b)(b+c)(a+c)$

または、$-(a-b)(b+c)(c+a)$

です。