数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_3 = -13$, $a_6 = -7$ である。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_1$ から $a_{20}$ までの20項のうち、正である項の総和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、$a_3 = -13$, $a_6 = -7$ である。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_1$ から $a_{20}$ までの20項のうち、正である項の総和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ と表せる。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差である。

$a_3 = a_1 + 2d = -13$

$a_6 = a_1 + 5d = -7$

2つの式を引き算すると、$3d = 6$ より $d = 2$

$a_1 + 2(2) = -13$ より $a_1 = -17$

したがって、一般項は $a_n = -17 + (n-1)2 = -17 + 2n - 2 = 2n - 19$

(2) 正である項の総和を求める。

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$2n - 19 > 0$

$2n > 19$

$n > 9.5$

よって、$n \ge 10$ のとき $a_n > 0$ である。

$a_{10} = 2(10) - 19 = 1$

$a_{20} = 2(20) - 19 = 21$

$a_{10}$ から $a_{20}$ までの和 $S$ を求める。

$S = \frac{(a_{10} + a_{20}) \times (20 - 10 + 1)}{2} = \frac{(1+21) \times 11}{2} = \frac{22 \times 11}{2} = 11 \times 11 = 121$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 19$

(2) $S = 121$