公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ において、 $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{10} = 10$ $a_{21} + a_{22} + a_{23} + \dots + a_{40} = 120$ が与えられているとき、 $a_{41} + a_{42} + a_{43} + \dots + a_{80}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

公比が実数の等比数列 $\{a_n\}$ において、

$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{10} = 10$

$a_{21} + a_{22} + a_{23} + \dots + a_{40} = 120$

が与えられているとき、

$a_{41} + a_{42} + a_{43} + \dots + a_{80}$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用する。

等比数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$、公比を $r$ とする。

すると、$a_n = ar^{n-1}$ と表せる。

$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ （ただし、$r \ne 1$）

問題文の条件より、

$\sum_{k=1}^{10} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 10$

$\sum_{k=21}^{40} a_k = a_{21} + a_{22} + \dots + a_{40} = \sum_{k=1}^{20} a_{k+20} = \sum_{k=1}^{20} ar^{k+19} = ar^{20} \sum_{k=1}^{20} r^{k-1} = ar^{20} \frac{1-r^{20}}{1-r} = r^{20} \frac{a(1-r^{20})}{1-r} = 120$

求める値を $X$ とすると、

$X = \sum_{k=41}^{80} a_k = a_{41} + a_{42} + \dots + a_{80} = \sum_{k=1}^{40} a_{k+40} = \sum_{k=1}^{40} ar^{k+39} = ar^{40} \sum_{k=1}^{40} r^{k-1} = r^{40} \frac{a(1-r^{40})}{1-r}$

$\frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 10$ を (1)

$r^{20} \frac{a(1-r^{20})}{1-r} = 120$ を (2)

$X = r^{40} \frac{a(1-r^{40})}{1-r}$ を (3) とする。

(2) / (1) より、

$r^{20} \frac{1-r^{20}}{1-r^{10}} = \frac{120}{10} = 12$

$r^{20} (1+r^{10}) = 12$

(3) / (1) より、

$\frac{X}{10} = r^{40} \frac{1-r^{40}}{1-r^{10}} = r^{40} (1+r^{10})(1+r^{20}+r^{30})$

ここで、$r^{20} (1+r^{10}) = 12$ なので、$r^{10} = x$ とおくと、$r^{20}= x^2$ となり、

$x^2 (1+x) = 12$。

$x^3 + x^2 - 12 = 0$

$(x-2)(x^2 + 3x + 6) = 0$

$x=2$ （$x$は実数であることから）

したがって、$r^{10}=2$。$r^{20}=4$。$r^{40}=16$。

$X = r^{40} \frac{a(1-r^{40})}{1-r} = r^{20+20} \frac{a(1-r^{20+20})}{1-r} = r^{40} \frac{a(1-r^{40})}{1-r}$.

$\frac{X}{10} = r^{40} \frac{1-r^{40}}{1-r^{10}} = r^{40}(1+r^{10}+r^{20}+r^{30}) = 16 \cdot \frac{1-16}{1-2} = 16 \cdot 15 = 240$.

$X = 10 r^{20} \frac{1 - r^{20}}{1 - r^{10}} = 10 \cdot \frac{r^{20} - r^{40}}{1 - r^{10}} = \frac{10 (4 - 16)}{1 - 2} = 120$

$\frac{X}{10} = r^{40} \frac{1-r^{40}}{1-r^{10}} = 16 \cdot \frac{1-16}{1-2} = 16(1+r^{10}+r^{20}+r^{30}) = 16(1+2+4+8) = 16 \cdot 15 = 240$

したがって、$X=2400$

$X=10 r^{40} \frac{1-r^{40}}{1-r^{10}} = 10 \cdot 16 \frac{1-16}{1-2} = 10 \cdot 16 \cdot 15 = 2400$.

3. 最終的な答え

240