与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。 (1) $1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2, 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2, 3^2 + 3 \cdot 4 + 4^2, \dots$ (2) $1^2, 1^2 + 3^2, 1^2 + 3^2 + 5^2, 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。

(1) $1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2, 2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2, 3^2 + 3 \cdot 4 + 4^2, \dots$

(2) $1^2, 1^2 + 3^2, 1^2 + 3^2 + 5^2, 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 一般項を求める。

数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = n^2 + n(n+1) + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + n + n^2 + 2n + 1 = 3n^2 + 3n + 1$

初項から第n項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + 2n}{2} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 2)}{2} = \frac{n(2n^2 + 6n + 6)}{2} = n(n^2 + 3n + 3)$

(2) 一般項を求める。

数列の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$a_n = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$a_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3} = \frac{n[2(2n^2+3n+1)-6n-6+3]}{3} = \frac{n(4n^2+6n+2-6n-3)}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

初項から第n項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(4k^2-1)}{3} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (4k^3 - k) = \frac{1}{3} [4\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k] = \frac{1}{3} [4(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)}{2}]$

$S_n = \frac{1}{3} [n^2(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2}] = \frac{n(n+1)}{6}[2n(n+1)-1] = \frac{n(n+1)(2n^2+2n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = n(n^2 + 3n + 3)$

(2) $S_n = \frac{n(n+1)(2n^2 + 2n - 1)}{6}$