$a/b = c/d$ のとき、$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$a/b = c/d$ のとき、$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$a/b = c/d$ より、$a = kb$, $c = kd$ となる定数 $k$ が存在します。

この $a$ と $c$ を与えられた等式の左辺と右辺に代入して、それぞれ計算し、両辺が等しくなることを示します。

左辺:

$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{(kb)b + (kd)d}{(kb)b - (kd)d} = \frac{kb^2 + kd^2}{kb^2 - kd^2} = \frac{k(b^2 + d^2)}{k(b^2 - d^2)} = \frac{b^2 + d^2}{b^2 - d^2}$

右辺:

$\frac{a^2+c^2}{a^2-c^2} = \frac{(kb)^2 + (kd)^2}{(kb)^2 - (kd)^2} = \frac{k^2b^2 + k^2d^2}{k^2b^2 - k^2d^2} = \frac{k^2(b^2 + d^2)}{k^2(b^2 - d^2)} = \frac{b^2 + d^2}{b^2 - d^2}$

左辺と右辺は等しくなります。

3. 最終的な答え

したがって、$a/b = c/d$ のとき、$\frac{ab+cd}{ab-cd} = \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}$ が成り立ちます。