(1) $x, y$ は実数とする。命題「$x(x-y) = 0 \implies x = 0$」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。 (2) $x, y$ は実数とする。命題「$x+y \neq 5 \implies x \neq 3$ または $y \neq 2$」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。 (6) $n$ は整数とする。命題「$n^2+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。 (7) $\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + \sqrt{8}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) $x, y$ は実数とする。命題「$x(x-y) = 0 \implies x = 0$」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

(2) $x, y$ は実数とする。命題「$x+y \neq 5 \implies x \neq 3$ または $y \neq 2$」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

(6) $n$ は整数とする。命題「$n^2+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

(7) $\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + \sqrt{8}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$x(x-y) = 0 \implies x = 0$」について

元の命題：$x(x-y) = 0 \implies x = 0$。

$x = 0$ または $x-y = 0$ が成立するならば、$x = 0$ が成立するかどうかを考える。

$x-y=0$のとき、$x=y$なので、$x$は0以外の値を取りうる。例えば、$x=1$、$y=1$のとき、$x(x-y)=1(1-1)=0$だが、$x=0$ではない。したがって、元の命題は偽。

逆：$x = 0 \implies x(x-y) = 0$。

$x = 0$ ならば、$x(x-y) = 0(0-y) = 0$ となり、常に成立する。したがって、逆は真。

裏：$x(x-y) \neq 0 \implies x \neq 0$。

元の命題が偽なので、その裏も偽。

$x(x-y) \neq 0$ は、$x \neq 0$ かつ $x-y \neq 0$ を意味する。したがって、$x \neq 0$ は真である。

対偶：$x \neq 0 \implies x(x-y) \neq 0$。

逆が真なので、対偶も真。

(2) 命題「$x+y \neq 5 \implies x \neq 3$ または $y \neq 2$」について

元の命題：$x+y \neq 5 \implies x \neq 3$ または $y \neq 2$。

$x+y \neq 5$ ならば、$x \neq 3$ または $y \neq 2$ が成立するかどうかを考える。

$x = 3$ かつ $y = 2$ と仮定すると、$x+y = 3+2 = 5$ となる。

$x+y \neq 5$ であれば、$x \neq 3$ または $y \neq 2$ の少なくとも一方が成立する。したがって、元の命題は真。

逆：$x \neq 3$ または $y \neq 2 \implies x+y \neq 5$。

$x = 4$ かつ $y = 2$ のとき、$x \neq 3$ が成立するが、$x+y = 4+2 = 6 \neq 5$ となり成立する。$x=3$かつ$y=1$のとき、$y \neq 2$が成立するが、$x+y=3+1=4\neq 5$となり成立する。

$x = 4$ かつ $y = 1$ のとき、$x \neq 3$ かつ $y \neq 2$ が成立するが、$x+y = 5$ となる場合がある。したがって、逆は偽。

裏：$x+y = 5 \implies x = 3$ かつ $y = 2$。

元の命題が真なので、対偶も真である。逆が偽なので、裏も偽である。

反例として、$x = 4$ かつ $y = 1$ のとき、$x+y = 5$ だが、$x = 3$ かつ $y = 2$ は成立しない。したがって、裏は偽。

対偶：$x = 3$ かつ $y = 2 \implies x+y = 5$。

$x = 3$ かつ $y = 2$ ならば、$x+y = 3+2 = 5$ となり、常に成立する。したがって、対偶は真。

(6) 命題「$n^2+1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

対偶証明法を用いる。対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^2+1$ は偶数である」。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k+1$ ($k$ は整数) と表せる。

このとき、$n^2+1$ は、

$n^2+1 = (2k+1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)$

$2k^2 + 2k + 1$ は整数なので、$n^2+1$ は偶数である。

したがって、対偶が真なので、元の命題も真である。

(7) $\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + \sqrt{8}$ が無理数であることを証明する。

背理法を用いる。$1 + \sqrt{8}$ が有理数であると仮定する。

$1 + \sqrt{8} = r$ ($r$ は有理数) と表せる。

このとき、$\sqrt{8} = r - 1$ となる。

$r$ は有理数なので、$r - 1$ も有理数である。

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ より、$2\sqrt{2} = r - 1$。

したがって、$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{2}$ となる。

$r$ は有理数なので、$r-1$ も有理数であり、$\frac{r - 1}{2}$ も有理数である。

これは、$\sqrt{2}$ が有理数であるということを意味し、$\sqrt{2}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$1 + \sqrt{8}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) 元の命題：偽、逆：真、裏：偽、対偶：真

(2) 元の命題：真、逆：偽、裏：偽、対偶：真

(6) 証明終わり

(7) 証明終わり