与えられた6つの式を因数分解します。 (10) $36x^2 + 12x + 1$ (11) $25x^2 - 30x + 9$ (12) $36x^2 - 25$ (13) $8x^2 - 18y^2$ (14) $-x^2 + 12xy - 36y^2$ (15) $2a^2 - 4ab - 30b^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解します。

(10) $36x^2 + 12x + 1$

(11) $25x^2 - 30x + 9$

(12) $36x^2 - 25$

(13) $8x^2 - 18y^2$

(14) $-x^2 + 12xy - 36y^2$

(15) $2a^2 - 4ab - 30b^2$

2. 解き方の手順

(10) $36x^2 + 12x + 1$ は $(6x)^2 + 2(6x)(1) + (1)^2$ と見なせるので、$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ の公式を利用して因数分解できます。

$36x^2 + 12x + 1 = (6x+1)^2$

(11) $25x^2 - 30x + 9$ は $(5x)^2 - 2(5x)(3) + (3)^2$ と見なせるので、$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用して因数分解できます。

$25x^2 - 30x + 9 = (5x-3)^2$

(12) $36x^2 - 25$ は $(6x)^2 - (5)^2$ と見なせるので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用して因数分解できます。

$36x^2 - 25 = (6x+5)(6x-5)$

(13) $8x^2 - 18y^2$ は、まず共通因数2で括り出すことができます。

$8x^2 - 18y^2 = 2(4x^2 - 9y^2)$

次に、$4x^2 - 9y^2$ は $(2x)^2 - (3y)^2$ と見なせるので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用して因数分解できます。

$8x^2 - 18y^2 = 2(2x+3y)(2x-3y)$

(14) $-x^2 + 12xy - 36y^2$ は、まず全体に-1をかけて、$-(x^2 - 12xy + 36y^2)$とします。

$x^2 - 12xy + 36y^2$ は $(x)^2 - 2(x)(6y) + (6y)^2$ と見なせるので、$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用して因数分解できます。

$-x^2 + 12xy - 36y^2 = -(x-6y)^2 = -(x-6y)(x-6y) = (6y-x)(x-6y)$

(15) $2a^2 - 4ab - 30b^2$ は、まず共通因数2で括り出すことができます。

$2a^2 - 4ab - 30b^2 = 2(a^2 - 2ab - 15b^2)$

次に、$a^2 - 2ab - 15b^2$ を因数分解します。$a^2 - 2ab - 15b^2 = (a + pb)(a + qb)$ とおくと、$pq=-15$ かつ $p+q=-2$ を満たす $p$ と $q$ を探します。$p=3, q=-5$ が条件を満たすので、

$a^2 - 2ab - 15b^2 = (a+3b)(a-5b)$

$2a^2 - 4ab - 30b^2 = 2(a+3b)(a-5b)$

3. 最終的な答え

(10) $(6x+1)^2$

(11) $(5x-3)^2$

(12) $(6x+5)(6x-5)$

(13) $2(2x+3y)(2x-3y)$

(14) $-(x-6y)^2 = (6y-x)(x-6y)$

(15) $2(a+3b)(a-5b)$