$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$のとき、$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $の範囲で、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$のとき、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$の範囲で、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$を因数分解します。

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$$

$$\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)$$

与えられた式に代入すると、

$$(\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta) = \frac{13}{27}$$

ここで、$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと、$t^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta$なので、$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$となります。これを代入すると、

$$t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = \frac{13}{27}$$

$$t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = \frac{13}{27}$$

$$3t - t^3 = \frac{26}{27}$$

$$27(3t - t^3) = 26$$

$$81t - 27t^3 = 26$$

$$27t^3 - 81t + 26 = 0$$

ここで、$t = \frac{1}{3}$を代入すると、$27(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{3}) + 26 = 1 - 27 + 26 = 0$となるので、$t = \frac{1}{3}$は解の一つです。

次に、$27t^3 - 81t + 26 = (3t - 1)(9t^2 + 3t - 26) = 0$となるので、

$3t - 1 = 0$または$9t^2 + 3t - 26 = 0$となります。

$3t - 1 = 0$より、$t = \frac{1}{3}$

$9t^2 + 3t - 26 = 0$より、$t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(9)(-26)}}{18} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 936}}{18} = \frac{-3 \pm \sqrt{945}}{18} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{105}}{18} = \frac{-1 \pm \sqrt{105}}{6}$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$のとき、$\sin \theta > 0$かつ$\cos \theta < 0$なので、$t = \sin \theta + \cos \theta$の範囲は$-\sqrt{2} < t < 1$となります。

$t = \frac{-1 - \sqrt{105}}{6} \approx -1.87 < -\sqrt{2}$なので不適。

$t = \frac{-1 + \sqrt{105}}{6} \approx 1.54 > 1$なので不適。

よって、$t = \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$となります。

$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{(\frac{1}{3})^2 - 1}{2} = \frac{\frac{1}{9} - 1}{2} = \frac{-\frac{8}{9}}{2} = -\frac{4}{9}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$より、$\cos \theta = \frac{1}{3} - \sin \theta$

$\sin \theta (\frac{1}{3} - \sin \theta) = -\frac{4}{9}$

$\frac{1}{3} \sin \theta - \sin^2 \theta = -\frac{4}{9}$

$\sin^2 \theta - \frac{1}{3} \sin \theta - \frac{4}{9} = 0$

$9\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 4 = 0$

$\sin \theta = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(9)(-4)}}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{18} = \frac{3 \pm 3\sqrt{17}}{18} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{6}$

$\sin \theta > 0$より、$\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$

$\cos \theta = \frac{1}{3} - \sin \theta = \frac{1}{3} - \frac{1 + \sqrt{17}}{6} = \frac{2 - (1 + \sqrt{17})}{6} = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{1 + \sqrt{17}}{6}$

$\cos \theta = \frac{1 - \sqrt{17}}{6}$